При аналитическом
моделировании характеристики системы вычисляются наиболее просто для потока
заявок называемого простейшим.
Простейший поток - это поток заявок, который обладает всеми 3-мя св-ми:
стационарность, ординарность, отсутствие последействия.
У простейшего потока
интервалы времени между 2-мя последовательными заявками - независимые СВ с функцией распределения
F(t)=1-e^(-λt)
.
Графический вид данного
распределения:
Такое распределение
называется экспоненциальным или показательным и имеет плотность распределения:
F|(t)=f(t)= λ*
e-λt - Дифференциальный закон или плотность вер-ти.
Для простейшего потока:
Мат.ожидание длины интервала- это интеграл:
M[T]=
Дисперсия:
D[T]=M[T^2]-(M[T] )^2 =
Среднеквадратичное отклонение:
σ(t)=
Экспоненциальное
распределение характеризуется одним количественным параметром - интенсивностью.
Простейший поток заявок
обладает следующими особенностями:
1)Сумма
независимых стационарных потоков с интенсивностями λi
и любыми законами распределения сходятся к простейшему с интенсивностью λ:
, где к=4-5 и выше.
2)Поток
заявок, полученный в результате случайного разряжения исходного стационарного,
ординарного потока имеющего интенсивность λ,
когда каждая заявка исключается из потока с определенной вероятностью P
независимо от того исключены другие
заявки или нет образует простейший поток с
интенсивностью λ=P*λисх.
3)Интервал
времени между произвольным моментом времени и моментом времени поступления
очередной заявки имеет экспоненциальное распределение с таким же мат. ожиданием
(1/λ), что и интервал времени между 2-мя
последовательными заявками.
4)Простейший
поток создает так называемый тяжелый режим функционирования системы, т.к.:
а)Большое число (63%) промежутков времени между заявками
имеют длину меньшую чем ее M[T] =1/λ.
б)Коэффициент вариации ν=(
σ[T])/(M[T]), характеризующий степень
нерегулярности потока =1. В то время как у детерминированного потока ν=0, а для большинства законов распределения 0<ν<1.
Простейший поток создает тяжелый режим
функционирования системы, поскольку большое число промежутков времени (63%)
между заявками имеет длину, меньшую, чем математическое ожидание (М=1/λ) и коэффициент вариации Р=s(t)/M(t),
характеризующий степень нерегулируемости потока, равен единице в то время, как
у детерминированных потоков D=0.
Для большинства остальных
законов распределения 0<D<1
Вычислим вероятность
появления периодов t, меньше Мt=1/λ.
Формула плотности распределения:
F(t)
= 1-e^(-λt) , тогда Р{0<t<Mt}=F(Mt)-F(0)=( 1-e^(-λt))-(1-e^(-0))=1-1/e=0/63=63%
Т.е. наступление событий с
более короткими промежутками, меньшими, чем математическое ожидание Мt=1/λ., более вероятно,
чем с длинными.
Простейший поток имеет
широкое распространение не только из-за аналитической простоты связанной с ним
теории, но и потому, что большое число наблюдаемых потоков стохастически
не отличимы от простейшего.
Этот эмпирический факт
подтвержден рядом математических моделей, в которых при довольно
общих условиях доказывается, что поток близок к простейшему.
